삼각함수 시각화 도구

슬라이더를 움직여 각도 α를 바꿔보세요.

cos(α)
sin(α)
cos(α+90°)
-sin(α)

핵심 원리: 좌표의 회전

  • cos(α)와 sin(α)는 점 P의 가로(x), 세로(y) 좌표입니다.
  • 점 P를 반시계 방향으로 90° 회전시키면 점 P'가 됩니다.
  • 회전 후, 원래의 세로 높이(sin)가 새로운 가로 위치(cos)로 바뀌면서 부호가 반대가 됩니다.
  • 이것이 바로 cos(α+90°) = -sin(α) 관계의 비밀입니다!

심화 학습: 회전 행렬로 덧셈공식 유도하기

벡터와 행렬 곱을 이용하면 cos(θ+α) = cosθcosα - sinθsinα 공식을 유도할 수 있습니다.

개념 요약

  • 시작 벡터 (v): 각도가 θ인 단위 벡터에서 시작합니다.
  • 회전 변환 (Rα): 이 벡터를 각도 α만큼 더 회전시키는 변환 행렬을 적용합니다.
  • 결과 벡터 (v'): 회전 후 새로운 벡터는 총 θ+α의 각도를 가집니다.
  • 성분 비교: 행렬 곱으로 계산된 v'의 x성분과, 각도 (θ+α)로 정의된 v'의 x성분이 같다는 점을 이용합니다.

단계별 증명

1. 시작 벡터 정의

x축과 θ의 각도를 이루는 단위 벡터 v의 좌표는 다음과 같습니다.

v = [cosθ, sinθ]

2. 회전 변환 행렬

반시계 방향으로 α만큼 회전시키는 행렬 Rα는 다음과 같습니다.

Rα = 
(
cosα-sinα
sinαcosα
)

3. 변환된 벡터 계산

벡터 v를 행렬 Rα로 회전시킨 새로운 벡터 v'는 Rα * v 입니다.

v' = Rα v = 
(
cosα-sinα
sinαcosα
)
(
cosθsinθ
)
v' = 
(
(cosα)(cosθ) - (sinα)(sinθ)(sinα)(cosθ) + (cosα)(sinθ)
)

4. 결과 비교

회전 후 벡터 v'의 각도는 θ+α이므로, 그 x좌표는 cos(θ+α) 입니다. 위에서 행렬 곱으로 계산한 x좌표와 이 값은 당연히 같아야 합니다.

cos(θ+α) = cosθcosα - sinθsinα