코사인 법칙 마스터하기

삼각형의 모든 것을 풀어내는 강력한 열쇠

1. 코사인 법칙이란?

A B C c a b

코사인 법칙(과거 제2코사인법칙)은 일반 삼각형에서 세 변의 길이와 한 각의 코사인 값 사이의 관계를 나타내는 공식입니다. 피타고라스 정리를 일반적인 삼각형으로 확장한 것이라고 생각할 수 있습니다.

핵심 공식

$$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C) $$

위 공식에서 변과 각의 문자를 바꾸면 다른 두 변에 대한 공식도 얻을 수 있습니다.

2. 피타고라스 정리로 증명하기

각 C가 예각일 때

ABCH cba hxa-x
  • 1. 꼭짓점 A에서 변 BC에 수선의 발 H를 내립니다.
  • 2. △ABH에서: $c^2 = h^2 + (a-x)^2$
  • 3. △ACH에서: $b^2 = h^2 + x^2 \Rightarrow h^2 = b^2 - x^2$
  • 4. 두 식을 결합: $c^2 = (b^2 - x^2) + (a-x)^2 = a^2 + b^2 - 2ax$
  • 5. △ACH에서 $\cos(C) = x/b$ 이므로, $x = b \cos(C)$
  • 6. 최종 결과: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)$

각 C가 둔각일 때

ABCH cba hxa+x
  • 1. 변 BC의 연장선에 수선의 발 H를 내립니다.
  • 2. △ABH에서: $c^2 = h^2 + (a+x)^2$
  • 3. △ACH에서: $b^2 = h^2 + x^2 \Rightarrow h^2 = b^2 - x^2$
  • 4. 두 식을 결합: $c^2 = (b^2 - x^2) + (a+x)^2 = a^2 + b^2 + 2ax$
  • 5. $\cos(180°-C) = - \cos(C) = x/b \Rightarrow x = -b \cos(C)$
  • 6. 최종 결과: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)$

3. 코사인 법칙 계산기

두 변(a, b)의 길이와 그 끼인각(C)를 입력하세요.