🤔 잠깐, 왜 좌표가 $(\cos\alpha, \sin\alpha)$ 인가요?
좋은 질문입니다! 이는 삼각함수의 가장 기본적인 정의에서 비롯됩니다. 중심이 원점 $(0,0)$이고 반지름이 $r$인 원을 생각해봅시다. 원 위의 한 점 $P(x, y)$까지 원점이 잇는 선(동경)이 x축 양의 방향과 이루는 각을 $\theta$라고 할 때, 삼각함수는 다음과 같이 정의됩니다.
만약 반지름이 1인 단위원이라면 $r=1$이므로, 이 정의는 훨씬 간단해집니다. $ \cos\theta = x $, $ \sin\theta = y $. 따라서 단위원 위의 점의 좌표는 $(x, y) = (\cos\theta, \sin\theta)$ 로 바로 표현할 수 있습니다.
증명 과정 따라가기
1. 기본 설정 ⚙️
좌표평면 위에 중심이 원점 $O(0, 0)$이고 반지름이 1인 단위원을 가정합니다. 이 원 위에 두 점 A와 B를 잡겠습니다.
- 점 A: 원점으로부터 동경이 x축 양의 방향과 이루는 각이 $\alpha$인 점. 좌표는 $A(\cos\alpha, \sin\alpha)$ 입니다.
- 점 B: 원점으로부터 동경이 x축 양의 방향과 이루는 각이 $\beta$인 점. 좌표는 $B(\cos\beta, \sin\beta)$ 입니다.
우리의 목표는 선분 AB 길이의 제곱($AB^2$)을 두 가지 다른 방법으로 구하는 것입니다.
2. 방법 1: 두 점 사이의 거리 공식 이용
좌표평면 위 두 점 $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ 사이의 거리 제곱 공식 $d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2$을 점 A와 B에 적용합니다.
// 식을 전개합니다.
$$ AB^2 = (\cos^2\alpha - 2\cos\alpha\cos\beta + \cos^2\beta) + (\sin^2\alpha - 2\sin\alpha\sin\beta + \sin^2\beta) $$// 항의 순서를 재배치하여 $\sin^2\theta + \cos^2\theta=1$을 적용합니다.
$$ AB^2 = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + (\sin^2\beta + \cos^2\beta) - 2\cos\alpha\cos\beta - 2\sin\alpha\sin\beta $$// 위 항등식을 이용해 식을 간단히 합니다.
$$ AB^2 = 1 + 1 - 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) $$// 최종 결과입니다.
원점 O와 두 점 A, B를 꼭짓점으로 하는 삼각형 OAB를 생각합니다. 제2코사인법칙 $c^2 = a^2+b^2-2ab\cos C$를 적용합니다.
일반 삼각형에서 변 c의 길이는 두 변 a, b와 그 끼인각 C로 구할 수 있습니다.
- 변 OA의 길이: 원의 반지름이므로 1
- 변 OB의 길이: 원의 반지름이므로 1
- 두 변 사이의 끼인각 $\angle AOB$: 두 동경이 이루는 각이므로 $\alpha - \beta$
// 알고 있는 값들을 대입합니다.
$$ AB^2 = 1^2 + 1^2 - 2(1)(1)\cos(\alpha - \beta) $$// 최종 결과입니다.
4. 결론 💡
두 가지 방법으로 구한 $AB^2$의 결과는 당연히 서로 같아야 합니다.
// 양변에서 2를 빼고, -2로 나누어 정리합니다.
$$ \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha - \beta) $$최종적으로 다음 공식이 증명되었습니다.
$$ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta $$